Самая точная нейросеть для решения задач

Тема: Векторные произведения и объёмы

Условие

Во всех заданиях $p=4$, поэтому $p+1=5$. Для знаков смешанного произведения используем коды: $1$ для правой тройки, $-1$ для левой, $0$ для компланарной.

Шаг 1: Ориентация троек

Ориентацию определяет знак определителя, составленного из координат векторов. Положительный знак даёт код $1$, отрицательный даёт код $-1$, нулевой даёт код $0$.

1. Для $(5\vec{k},\vec{i},\vec{j})$ определитель равен $5>0$, код: $1$.
2. Для $(5\vec{i},\vec{k},\vec{j})$ перестановка координатных векторов имеет отрицательный знак, код: $-1$.
3. Векторы $5(\vec{i}+\vec{j})$, $\vec{i}-\vec{j}$ и $\vec{j}$ лежат в плоскости $xy$. Определитель равен нулю, код: $0$.
4. Векторы $\vec{k},\vec{i},\vec{i}+\vec{j}$ дают определитель $1>0$, код: $1$.

Код задания 1: 1, -1, 0, 1

Шаг 2: Модуль смешанного произведения

У взаимно перпендикулярных векторов модуль смешанного произведения равен произведению их длин. При $p=4$ первая длина равна $4(p+1)=20$:

$$|[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|=20\cdot 2\cdot 3=120.$$

Код задания 2: 120

Шаг 3: Компланарность векторов

Подставим $p=4$ в данное условие. Так как $p+1=5\ne 0$, получаем:

$$[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{c},\vec{a}]=\vec{0}.$$

Раскроем векторные произведения в выражении $(\vec{a}-\vec{c})\times (\vec{b}-\vec{c})$:

$$(\vec{a}-\vec{c})\times (\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}-\vec{a}\times \vec{c}-\vec{c}\times \vec{b}.$$

Учитывая, что $-\vec{a}\times \vec{c}=\vec{c}\times \vec{a}$ и $-\vec{c}\times \vec{b}=\vec{b}\times \vec{c}$, получаем:

$$(\vec{a}-\vec{c})\times (\vec{b}-\vec{c})=[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{c},\vec{a}]=\vec{0}.$$

Значит, $\vec{a}-\vec{c}$ и $\vec{b}-\vec{c}$ параллельны или один из них нулевой. Следовательно, точки с радиус-векторами $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ лежат на одной прямой, а значит, компланарны.

Код задания 3: 1

Шаг 4: Смешанное произведение

Смешанное произведение найдём определителем:

$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc}5& -2& 3\\ -5& 2& -2\\ 15& 1& 5\end{array}\right|.$$

Разложим определитель по первой строке:

$$5(2\cdot 5-(-2)\cdot 1)-(-2)((-5)\cdot 5-(-2)\cdot 15)+3((-5)\cdot 1-2\cdot 15).$$ $$=5\cdot 12+2\cdot 5+3\cdot (-35)=60+10-105=-35.$$

Код задания 4: -35

Шаг 5: Компланарность троек и линейная зависимость

Общий множитель $5$ не влияет на то, равен ли определитель нулю, и не меняет его знак. Поэтому проверим определители для векторов без множителя $5$.

1. Для первой тройки:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -1& 3\\ 1& 9& -11\end{array}\right|=2(-16)-3(-14)-10=0.$$

Тройка компланарна, линейная зависимость есть, код: $0$.

2. Для второй тройки:

$$\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 2& 1& 2\\ 3& -1& -2\end{array}\right|=-25.$$

Тройка некомпланарна и имеет отрицательную ориентацию, код: $-1$.

3. Для третьей тройки:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 1& 2& -3\\ 3& -4& 7\end{array}\right|=0.$$

Тройка компланарна, линейная зависимость есть, код: $0$.

Коды задания 5: 0, -1, 0

Шаг 6: Проверка компланарности четырёх точек

Общий множитель $5$ у всех координат не влияет на компланарность. Рассмотрим точки без этого множителя:

$$A=(2,-1,-2),B=(1,2,1),C=(2,3,0),D=(5,0,-6).$$

Векторы из точки $A$:

$$\overrightarrow{AB}=(-1,3,3),\overrightarrow{AC}=(0,4,2),\overrightarrow{AD}=(3,1,-4).$$

Определитель этих трёх векторов равен:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& 3\\ 0& 4& 2\\ 3& 1& -4\end{array}\right|=(-1)(-18)-3(-6)+3(-12)=36.$$

Так как $36\ne 0$, векторы некомпланарны. Значит, четыре точки не лежат в одной плоскости, несмотря на формулировку «показать, что лежат».

Шаг 7: Компланарность и параллельность прямой плоскости

Снова отбросим общий множитель $5$.

Для задания 7:

$$\overrightarrow{AB}=(-1,1,7),\overrightarrow{AC}=(-2,-1,5),\overrightarrow{AD}=(1,2,2).$$

Определитель равен:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 7\\ -2& -1& 5\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=0.$$

Точки компланарны. Нормальный вектор плоскости $ABC$ можно получить из векторного произведения:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(12,-9,3).$$

Направляющий вектор прямой $CD$ равен $(3,3,-3)$. Их скалярное произведение:

$$(12,-9,3)\cdot (3,3,-3)=36-27-9=0.$$

Значит, прямая $CD$ параллельна плоскости $ABC$.

Для задания 8:

$$\overrightarrow{BA}=(1,-4,14),\overrightarrow{BC}=(-1,-2,4),\overrightarrow{BD}=(2,-3,13).$$

Их определитель равен:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -4& 14\\ -1& -2& 4\\ 2& -3& 13\end{array}\right|=0.$$

Следовательно, точки компланарны.

Результаты заданий 7 и 8: 1, 1

Шаг 8: Объём параллелепипеда

Общий множитель $5$ входит только в вектор $\vec{a}$. Найдём определитель:

$$V=\left|\left|\begin{array}{ccc}5& -15& 5\\ 2& 1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|\right|.$$

Можно вынести $5$ из первой строки:

$$V=5\left|\left|\begin{array}{ccc}1& -3& 1\\ 2& 1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|\right|=5|25|=125.$$

Код задания 9: 125

Шаг 9: Объём и высота параллелепипеда

Площадь основания равна длине векторного произведения $\vec{a}\times \vec{b}$:

$$\vec{a}\times \vec{b}=(3,-17,-5),S_{\text{осн}}=\sqrt{3^2+(-17{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{323}.$$

Объём равен модулю смешанного произведения. По определителю:

$$V=\left|\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -5\\ 1& -1& 4\\ 5& -15& 5\end{array}\right|\right|=245.$$

Высота равна отношению объёма к площади основания:

$$h=\frac{V}{S_{\text{осн}}}=\frac{245}{\sqrt{323}}.$$

Код задания 10: $245;245/sqrt(323)$

Шаг 10: Объём тетраэдра

После удаления общего множителя $5$ векторы из вершины $A$ равны:

$$\overrightarrow{AB}=(3,6,3),\overrightarrow{AC}=(1,3,-2),\overrightarrow{AD}=(-1,5,2).$$

Определитель этих векторов равен $72$. При возвращении множителя $5$ к каждому вектору смешанное произведение умножается на $5^3$:

$$|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|=72\cdot 5^3=9000.$$

Объём тетраэдра составляет одну шестую объёма параллелепипеда:

$$V=\frac{9000}{6}=1500.$$

Код задания 11: 1500

Шаг 11: Объём пирамиды и квадрат высоты

После удаления общего множителя $5$ векторы из вершины $A$ равны:

$$\overrightarrow{AB}=(-2,3,0),\overrightarrow{AC}=(-2,0,6),\overrightarrow{AD}=(0,3,8).$$

Определитель этих векторов равен $84$. Поэтому объём пирамиды:

$$V=\frac{5^3\cdot 84}{6}=1750.$$

Для площади основания используем векторное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(18,12,6).$$

Его длина равна:

$$\sqrt{18^2+12^2+6^2}=6\sqrt{14}.$$

С учётом множителя $5$ площадь треугольника основания:

$$S_{ABC}=\frac{5^2\cdot 6\sqrt{14}}{2}=75\sqrt{14}.$$

Из формулы $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}h$ находим:

$$h=\frac{3V}{S_{ABC}}=\frac{5250}{75\sqrt{14}}=5\sqrt{14}.$$

Следовательно,

$$h^2=(5\sqrt{14}{)}^2=350.$$

Код задания 12: 1750; 350

Шаг 12: Объём пирамиды и высота

Основание $AOB$ лежит в плоскости $z=0$. Высота из точки $C$ равна её координате $z$:

$$h=5\cdot 4=20.$$

Площадь основания вычислим по определителю координат точек $A$ и $B$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}25& 10\\ 10& 25\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}|625-100|=\frac{525}{2}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}{S}_{AOB}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{525}{2}\cdot 20=1750.$$

Код задания 13: 1750; 20

Ответ:

1. 1, -1, 0, 1
2. 120
3. 1
4. -35
5. 0, -1, 0
6. Точки не компланарны
7. 1
8. 1
9. 125
10. $245;245/sqrt(323)$
11. 1500
12. 1750; 350
13. 1750; 20

Тема: Электронный баланс в окислительно-восстановительных реакциях

Условие

Для реакций с изображения нужно указать окислитель и восстановитель, записать электронные уравнения и расставить коэффициенты:

1. $\mathrm{H}{}_2+\mathrm{Cl}{}_2\to 2\mathrm{HCl}$
2. $2\mathrm{H}{}_2+\mathrm{O}{}_2\to \mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$
3. $\mathrm{O}{}_2+2\mathrm{Na}\to \mathrm{Na}{}_2\mathrm{O}{}_2$
4. $\mathrm{Cl}+2\mathrm{Na}\to 2\mathrm{NaCl}$
5. $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3\to \mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_4+\mathrm{K}{}_2\mathrm{S}$

Шаг 1: Определим степени окисления

В простых веществах степени окисления элементов равны $0$. В $\mathrm{HCl}$ водород имеет степень окисления $+1$, хлор $-1$. В $\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$ водород имеет степень окисления $+1$, кислород $-2$. В пероксиде $\mathrm{Na}{}_2\mathrm{O}{}_2$ кислород имеет степень окисления $-1$, а натрий $+1$.

В $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3$ сера имеет степень окисления $+4$, а в $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_4$ сера имеет степень окисления $+6$. В $\mathrm{K}{}_2\mathrm{S}$ сера имеет степень окисления $-2$.

Шаг 2: Рассмотрим реакцию образования хлороводорода

$\mathrm{H}{}_2+\mathrm{Cl}{}_2\to 2\mathrm{HCl}$

Степени окисления меняются так:

• водород: $0\to +1$, отдаёт электроны;
• хлор: $0\to -1$, принимает электроны.

Электронные уравнения с учётом двух атомов каждого элемента:

$$2\mathrm{H}{}^0-2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{H}{}^{+1}$$ $$\mathrm{Cl}{}_2{}^0+2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{Cl}{}^{-1}$$

Отдано и принято по два электрона, поэтому коэффициенты уравнения уже расставлены правильно.

$\mathrm{H}{}_2$ отдаёт электроны, значит, это восстановитель. $\mathrm{Cl}{}_2$ принимает электроны, значит, это окислитель.

Шаг 3: Рассмотрим реакцию образования воды

В условии продукт записан как $\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$, но уравнение $2\mathrm{H}{}_2+\mathrm{O}{}_2\to \mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$ не сбалансировано по водороду и кислороду. Чтобы сохранить число атомов каждого элемента, ставим коэффициент $2$ перед водой:

$$2\mathrm{H}{}_2+\mathrm{O}{}_2\to 2\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$$

Степени окисления меняются так:

• водород: $0\to +1$, отдаёт электроны;
• кислород: $0\to -2$, принимает электроны.

В двух молекулах $\mathrm{H}{}_2$ содержатся четыре атома водорода. Каждый атом отдаёт один электрон, всего отдаётся четыре электрона. Два атома кислорода принимают по два электрона, всего принимается четыре электрона.

$$4\mathrm{H}{}^0-4\mathrm{e}{}^{-}\to 4\mathrm{H}{}^{+1}$$ $$\mathrm{O}{}_2{}^0+4\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{O}{}^{-2}$$

Водород в составе $\mathrm{H}{}_2$ является восстановителем, кислород в составе $\mathrm{O}{}_2$ является окислителем.

Шаг 4: Рассмотрим образование пероксида натрия

$\mathrm{O}{}_2+2\mathrm{Na}\to \mathrm{Na}{}_2\mathrm{O}{}_2$

В пероксиде натрия $\mathrm{Na}{}_2\mathrm{O}{}_2$ натрий имеет степень окисления $+1$, а кислород $-1$. Поэтому:

• натрий: $0\to +1$, отдаёт электроны;
• кислород: $0\to -1$, принимает электроны.

Два атома натрия отдают по одному электрону. Два атома кислорода в молекуле $\mathrm{O}{}_2$ принимают по одному электрону каждый.

$$2\mathrm{Na}{}^0-2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{Na}{}^{+1}$$ $$\mathrm{O}{}_2{}^0+2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{O}{}^{-1}$$

Электронный баланс соблюдён, коэффициенты в уравнении верны. $\mathrm{Na}$ является восстановителем, $\mathrm{O}{}_2$ является окислителем.

Шаг 5: Рассмотрим реакцию натрия с хлором

В изображении в левой части записано $\mathrm{Cl}$, однако элементарный хлор существует в виде двухатомных молекул $\mathrm{Cl}{}_2$. Кроме того, для получения двух молекул $\mathrm{NaCl}$ нужны два атома хлора. Поэтому сбалансированное уравнение имеет вид:

$$\mathrm{Cl}{}_2+2\mathrm{Na}\to 2\mathrm{NaCl}$$

Степени окисления меняются так:

• натрий: $0\to +1$, отдаёт электроны;
• хлор: $0\to -1$, принимает электроны.

$$2\mathrm{Na}{}^0-2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{Na}{}^{+1}$$ $$\mathrm{Cl}{}_2{}^0+2\mathrm{e}{}^{-}\to 2\mathrm{Cl}{}^{-1}$$

$\mathrm{Na}$ является восстановителем, $\mathrm{Cl}{}_2$ является окислителем.

Шаг 6: Рассмотрим разложение сульфита калия

$\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3\to \mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_4+\mathrm{K}{}_2\mathrm{S}$

В $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3$ сера имеет степень окисления $+4$. В продуктах часть атомов серы переходит в степень окисления $+6$, а часть в $-2$:

• сера: $+4\to +6$, отдаёт два электрона;
• сера: $+4\to -2$, принимает шесть электронов.

Чтобы число отданных и принятых электронов совпало, три атома серы отдают по два электрона, а один атом серы принимает шесть электронов:

$$3\mathrm{S}{}^{+4}-6\mathrm{e}{}^{-}\to 3\mathrm{S}{}^{+6}$$ $$\mathrm{S}{}^{+4}+6\mathrm{e}{}^{-}\to \mathrm{S}{}^{-2}$$

Отдано и принято по шесть электронов, поэтому коэффициенты в уравнении:

$$4\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3\to 3\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_4+\mathrm{K}{}_2\mathrm{S}$$

Проверка: слева и справа по $8$ атомов калия, $4$ атома серы и $12$ атомов кислорода.

Здесь $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3$ является одновременно восстановителем и окислителем: сера в одной части исходного вещества окисляется, а в другой восстанавливается. Такая реакция называется диспропорционированием.

Ответ:

1. $\mathrm{H}{}_2+\mathrm{Cl}{}_2\to 2\mathrm{HCl}$. Окислитель: $\mathrm{Cl}{}_2$, восстановитель: $\mathrm{H}{}_2$.
2. $2\mathrm{H}{}_2+\mathrm{O}{}_2\to 2\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$. Окислитель: $\mathrm{O}{}_2$, восстановитель: $\mathrm{H}{}_2$.
3. $\mathrm{O}{}_2+2\mathrm{Na}\to \mathrm{Na}{}_2\mathrm{O}{}_2$. Окислитель: $\mathrm{O}{}_2$, восстановитель: $\mathrm{Na}$.
4. $\mathrm{Cl}{}_2+2\mathrm{Na}\to 2\mathrm{NaCl}$. Окислитель: $\mathrm{Cl}{}_2$, восстановитель: $\mathrm{Na}$. В изображении формула хлора записана как $\mathrm{Cl}$, исправленная формула простого вещества: $\mathrm{Cl}{}_2$.
5. $4\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3\to 3\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_4+\mathrm{K}{}_2\mathrm{S}$. $\mathrm{K}{}_2\mathrm{SO}{}_3$ является одновременно окислителем и восстановителем.

Тема: Электрофильное замещение в 3-этилпирроле

Условие

Нужно записать реакции 3-этилпиррола с хлорангидридом уксусной кислоты, комплексом оксида серы(VI) с пиридином, ацетилнитратом и йодом, а также назвать продукты.

В пирроле атом азота имеет номер 1. В 3-этилпирроле атом углерода с этильной группой имеет номер 3. При электрофильном замещении обычно преимущественно реагирует свободное α-положение, то есть атом углерода 2. Ниже записаны продукты замещения атома водорода при C-2.

Важно: условия реакции с хлорангидридом не указаны. Если подразумевается именно замещение при атоме углерода, продуктом будет 2-ацетильное производное. В основных условиях хлорангидрид может дать также продукт ацилирования по атому азота, поэтому для однозначного выбора продукта условия необходимы.

Шаг 1: Реакция с хлорангидридом уксусной кислоты

При ацилировании по атому углерода вместо водорода при C-2 вводится ацетильная группа $\mathrm{COCH}{}_3$:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COCl}\to 2\text{-}ацетил\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{HCl}$$

Продукт: 2-ацетил-3-этилпиррол.

Здесь запись «3-этилпиррол» в уравнении обозначает структурную формулу исходного вещества, а не его молекулярную формулу.

Шаг 2: Реакция с оксидом серы(VI) в пиридине

Комплекс $\mathrm{SO}{}_3$ с пиридином служит сульфирующим реагентом. При замещении атома водорода при C-2 образуется сульфокислота:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{SO}{}_3\to 3\text{-}этилпиррол\text{-}2\text{-}сульфокислота$$

Продукт: 3-этилпиррол-2-сульфокислота. Пиридин в данном случае входит в комплекс с $\mathrm{SO}{}_3$ и способствует проведению сульфирования.

Шаг 3: Реакция с ацетилнитратом

Ацетилнитрат $\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COONO}{}_2$ является нитрующим реагентом. При замещении водорода при C-2 вводится нитрогруппа $\mathrm{NO}{}_2$:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COONO}{}_2\to 2\text{-}нитро\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COOH}$$

Продукт: 2-нитро-3-этилпиррол. Побочный продукт: уксусная кислота.

Шаг 4: Реакция с йодом

При монойодировании атом водорода при C-2 замещается атомом йода:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{I}{}_2\to 2\text{-}йод\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{HI}$$

Продукт: 2-йод-3-этилпиррол. Уравнение предполагает условия, при которых возможно контролируемое монойодирование.

Ответ:

При замещении в положении 2 образуются: 2-ацетил-3-этилпиррол, 3-этилпиррол-2-сульфокислота, 2-нитро-3-этилпиррол и 2-йод-3-этилпиррол. Для реакции с хлорангидридом точный продукт зависит от условий: без их указания нельзя исключить ацилирование по атому азота.

Тема: Электрофильное замещение в 3-этилпирроле

Условие

Рассмотрим реакции 3-этилпиррола с хлорангидридом уксусной кислоты, комплексом оксида серы(VI) с пиридином, ацетилнитратом и йодом.

Пиррольное кольцо особенно реакционноспособно в реакциях электрофильного замещения. Обычно замещение происходит в α-положении, то есть у атома углерода, соседнего с атомом азота. Для 3-этилпиррола это прежде всего положение 2.

Важно учитывать, что некоторые результаты зависят от условий: в частности, хлорангидрид может ацилировать атом азота или углерод кольца, а для йодирования обычно нужны специальные условия.

Шаг 1: Взаимодействие с хлорангидридом уксусной кислоты

Хлорангидрид уксусной кислоты, $\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COCl}$, может дать N-ацилирование: атом водорода при азоте заменяется на ацетильную группу $\mathrm{CH}{}_3\mathrm{CO}{}^{-}$. В присутствии основания уравнение записывается так:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COCl}\to 1\text{-}ацетил\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{HCl}$$

Продукт: 1-ацетил-3-этилпиррол.

Если же имеются специальные условия для ацилирования углеродного атома кольца, например подходящий катализатор, возможна реакция электрофильного замещения в положении 2:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COCl}\stackrel{катализатор}{\to }2\text{-}ацетил\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{HCl}$$

Продукт в этом случае: 2-ацетил-3-этилпиррол. Поскольку условия в задании не указаны, однозначно выбрать между N-ацилированием и ацилированием кольца нельзя.

Шаг 2: Взаимодействие с раствором оксида серы(VI) в пиридине

Оксид серы(VI), $\mathrm{SO}{}_3$, вводит в кольцо сульфогруппу $-\mathrm{SO}{}_3\mathrm{H}$. Замещение происходит преимущественно в положении 2. После обработки реакционной смеси водой уравнение можно представить так:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{SO}{}_3+\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}\to 3\text{-}этилпиррол\text{-}2\text{-}сульфокислота$$

Продукт: 3-этилпиррол-2-сульфокислота. Пиридин служит средой или компонентом комплекса с $\mathrm{SO}{}_3$.

Шаг 3: Взаимодействие с ацетилнитратом

Ацетилнитрат, $\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COONO}{}_2$, является нитрующим реагентом. В кольцо вводится нитрогруппа $-\mathrm{NO}{}_2$, преимущественно в положение 2:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COONO}{}_2\to 2\text{-}нитро\text{-}3\text{-}этилпиррол+\mathrm{CH}{}_3\mathrm{COOH}$$

Продукт: 2-нитро-3-этилпиррол.

Шаг 4: Взаимодействие с йодом

Сам по себе йод не всегда обеспечивает однозначное гладкое монойодирование пиррольного кольца. Для получения монойодпроизводного обычно требуются подходящие условия, например специальный активатор. При контролируемом йодировании замещение ожидается преимущественно в положении 2:

$$3\text{-}этилпиррол+\mathrm{I}{}_2\stackrel{условияйодирования}{\to }2\text{-}йод\text{-}3\text{-}этилпиррол$$

Продукт при таком условном рассмотрении: 2-йод-3-этилпиррол. Одного указания «йод» недостаточно, чтобы установить конкретные условия и гарантировать именно этот продукт.

Ответ:

Продукты электрофильного замещения в кольце: 2-ацетил-3-этилпиррол, 3-этилпиррол-2-сульфокислота, 2-нитро-3-этилпиррол и при подходящих условиях йодирования 2-йод-3-этилпиррол. Хлорангидрид уксусной кислоты также может дать 1-ацетил-3-этилпиррол при N-ацилировании; без указания условий этот пункт неоднозначен.

Тема: Высшее образование — исправление ошибок и выбор слов

1. Исправление ошибок

1. A university degree can lead to better job opportunities and a higher salary.
2. Online courses now offer more flexibility for students who work or who have families.
3. The cost of tuition has increased significantly in many countries.
4. Universities are important centers for scientific research and new discoveries.
5. There is a debate about whether arts subjects are as useful as science and technology degrees.
6. Students often learn to be more independent and manage their time effectively.
7. Ошибок нет: Studying at a university allows students to meet people from different cultures and backgrounds.
8. Ошибок нет: Tuition fees can be very expensive, making it difficult for some students to attend university.
9. Technology is changing higher education, with more online classes and digital resources.

2. Multiple choice

1. A — make
2. B — get
3. B — skills
4. A — useful
5. B — risk
6. A — continuing
7. C — demonstrate
8. C — practice

Тема: Past Tenses

Auditions were held on a rainy Tuesday afternoon. I felt very nervous because I had never acted before. My best friend, Leo, however, was standing in the corner, calmly practicing his lines. He had been in every school play since he was eleven.

While I was waiting for my turn, I watched the other students. A girl named Sarah was reading from the script with so much emotion that everyone was listening. Mr. Evans nodded his head, looking very impressed. I had thought I had no chance, but seeing her amazing performance made me feel even worse.

Finally, they called my name. My hands were shaking as I took the paper. I started to read the lines for Romeo. My voice was trembling at first, but then I looked at Leo, who gave me a thumbs-up. I took a deep breath and continued.

When I finished, the room was quiet.

Mr. Evans smiled. “Interesting,” he said. “You brought a new feeling to it.” I hadn’t expected that reaction at all!

The next day, the cast list was posted on the noticeboard. Leo got the part of Mercutio, which he wanted. Sarah, of course, was Juliet. I scanned the list for my name, expecting nothing, when I saw it: I was Romeo! I couldn’t believe it. Leo ran over to me, shouting, “You did it! I knew you would!”

The rehearsals were tough. For two months, we practiced almost every day after school. There were many funny moments. One time, while Leo was delivering his famous Queen Mab speech, he forgot his lines and started making them up! We all burst out laughing.

The night of the performance arrived. I was standing behind the curtain, peeking at the audience. My parents were sitting in the front row. I had never felt so scared in my life.

The music started, and the play began. At first, my heart was beating so loudly I thought the audience could hear it. But then, something amazing happened. When I saw Sarah, as Juliet, on the balcony, I forgot about the audience. I forgot about my nerves. I was just Romeo, talking to the girl he loved.

The performance was a huge success. When the final curtain fell, the audience cheered. My parents clapped the loudest. After the show, Mr. Evans found me. “You see?” he said. “I saw your potential even before you did.”

That night, we all went to a pizza restaurant to celebrate. We were laughing and talking about the play for hours. We had worked so hard for this moment, and it was perfect. It was more than just a play; it was the experience that brought us all together in our final year, a memory I knew I would never forget.

Тема: Упрощение рационального выражения

Условие

Упростить выражение

$$\frac{4^2}{(b-2{)}^2}:\left(\frac{1}{(b-2{)}^2}-\frac{2}{b^2-4}+\frac{1}{(b+2{)}^2}\right)-\frac{8b}{(b-2{)}^2}.$$

Шаг 1: Найдём значение выражения в скобках

Разложим разность квадратов в знаменателе:

$$b^2-4=(b-2)(b+2).$$

Общий знаменатель дробей в скобках равен $(b^2-4{)}^2=(b-2{)}^2(b+2{)}^2$. Приведём дроби к этому знаменателю:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{(b-2{)}^2}-\frac{2}{b^2-4}+\frac{1}{(b+2{)}^2}& =\frac{(b+2{)}^2-2(b-2)(b+2)+(b-2{)}^2}{(b^2-4{)}^2}\\ & =\frac{(b+2{)}^2-2(b^2-4)+(b-2{)}^2}{(b^2-4{)}^2}.\end{array}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(b^2+4b+4)-2b^2+8+(b^2-4b+4)=16.$$

Значит, выражение в скобках равно

$$\frac{16}{(b^2-4{)}^2}.$$

Шаг 2: Выполним деление и вычитание

Так как $4^2=16$, первая часть выражения упрощается:

$$\frac{16}{(b-2{)}^2}:\frac{16}{(b^2-4{)}^2}=\frac{16}{(b-2{)}^2}\cdot \frac{(b^2-4{)}^2}{16}=\frac{(b^2-4{)}^2}{(b-2{)}^2}.$$

Используем равенство $b^2-4=(b-2)(b+2)$:

$$\frac{(b^2-4{)}^2}{(b-2{)}^2}=\frac{(b-2{)}^2(b+2{)}^2}{(b-2{)}^2}=(b+2{)}^2.$$

Теперь вычтем оставшуюся дробь:

$$(b+2{)}^2-\frac{8b}{(b-2{)}^2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(b+2{)}^2(b-2{)}^2-8b}{(b-2{)}^2}=\frac{(b^2-4{)}^2-8b}{(b-2{)}^2}.$$

Исходное выражение определено при $b\ne 2$ и $b\ne -2$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{(b^2-4{)}^2-8b}{(b-2{)}^2}},b\ne \pm 2.$$

Тема: Тождественные преобразования рациональных выражений

Условие

Докажем тождество

$$\left(\frac{t^3}{t^2-8t+16}-\frac{t^2}{t-4}\right):\left(-\frac{t}{t-4}+\frac{t^2}{t^2-16}\right)=\frac{t^2+4t}{4-t}.$$

Шаг 1: Найдём допустимые значения переменной

Знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль:

$$t^2-8t+16=(t-4{)}^2\ne 0,t-4\ne 0,t^2-16=(t-4)(t+4)\ne 0.$$

Отсюда $t\ne 4$ и $t\ne -4$. Кроме того, выражение, на которое делим, не должно быть равно нулю. Позже увидим, что оно равно $-\frac{4t}{(t-4)(t+4)}$, поэтому необходимо также $t\ne 0$.

Итак, рассматриваем $t\ne -4,0,4$.

Шаг 2: Упростим выражение в первых скобках

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$t^2-8t+16=(t-4{)}^2.$$

Приведём дроби к общему знаменателю $(t-4{)}^2$:

$$\frac{t^3}{(t-4{)}^2}-\frac{t^2}{t-4}=\frac{t^3-t^2(t-4)}{(t-4{)}^2}.$$

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$$\frac{t^3-t^3+4t^2}{(t-4{)}^2}=\frac{4t^2}{(t-4{)}^2}.$$

Шаг 3: Упростим выражение во вторых скобках

Разложим $t^2-16$ как разность квадратов:

$$t^2-16=(t-4)(t+4).$$

Приведём дроби к общему знаменателю $(t-4)(t+4)$:

$$-\frac{t}{t-4}+\frac{t^2}{(t-4)(t+4)}=\frac{-t(t+4)+t^2}{(t-4)(t+4)}.$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{-t^2-4t+t^2}{(t-4)(t+4)}=-\frac{4t}{(t-4)(t+4)}.$$

Шаг 4: Выполним деление и сравним с правой частью

Подставим полученные выражения. Деление на дробь заменим умножением на обратную ей дробь:

$$\frac{4t^2}{(t-4{)}^2}:\left(-\frac{4t}{(t-4)(t+4)}\right)=\frac{4t^2}{(t-4{)}^2}\cdot \frac{(t-4)(t+4)}{-4t}.$$

Сократим общие множители $4$, $t$ и $(t-4)$:

$$-\frac{t(t+4)}{t-4}=\frac{t(t+4)}{4-t}.$$

Раскроем произведение в числителе:

$$\frac{t(t+4)}{4-t}=\frac{t^2+4t}{4-t}.$$

Получили правую часть исходного равенства, значит тождество доказано при $t\ne -4,0,4$.

Ответ:

Тождество доказано при $t\ne -4,0,4$.

Тема: Построение линий пересечения плоскостей и сечений многогранников

Условие

1. В призме $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $M$ лежит на ребре $B{B}_1$, точка $K$ лежит на ребре $D{D}_1$. Построить линию пересечения плоскостей $ABC$ и $M{A}_{1}K$.

2. Построить сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $T\in SA$, $F\in AB$, $E\in BC$.

3. Построить сечение призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью, проходящей через $C$, $D$ и точку $K$ на грани $A{A}_1{B}_{1}B$.

Шаг 1: Пересечение плоскостей $ABC$ и $M{A}_{1}K$

Плоскость $ABC$ содержит прямую $BD$. Ребра $B{B}_1$ и $D{D}_1$ параллельны, поэтому они лежат в одной плоскости вместе с прямой $BD$. Эта плоскость содержит $M$ и $K$, а значит, прямая $MK$ пересекает $BD$ в точке $P$. Точка $P$ принадлежит обеим искомым плоскостям.

Теперь рассмотрим прямую $A_{1}K$. Она лежит в плоскости $M{A}_{1}K$. Прямая $A_1{D}_1$ параллельна $AD$, поэтому точки $A_1,D_1,D$ задают плоскость, пересечение которой с плоскостью $ABC$ есть прямая $AD$. Обозначим через $Q$ точку пересечения $A_{1}K$ и $AD$.

Точки $P$ и $Q$ принадлежат обеим плоскостям, поэтому искомая линия пересечения проходит через них.

Шаг 2: Сечение тетраэдра

На грани $SAB$ плоскость проходит через $T$ и $F$, поэтому часть сечения на этой грани есть отрезок $TF$.

Продлим $TF$ до пересечения с $SB$ и обозначим точку пересечения через $X$. Точки $F$ и $E$ лежат на грани $ABC$, поэтому отрезок $FE$ является частью сечения этой грани.

На грани $SBC$ сечение проходит через $E$ и $X$. Проведём прямую $EX$ и обозначим её пересечение с $SC$ через $Y$. На грани $SAC$ часть сечения соединяет $Y$ и $T$.

Искомое сечение: четырёхугольник $TFEY$.

Шаг 3: Сечение призмы

Плоскость сечения пересекает основание $ABCD$ по прямой $CD$, поскольку обе точки $C$ и $D$ принадлежат и основанию, и секущей плоскости.

Чтобы достроить сечение, последовательно находим пересечения секущей плоскости с боковыми гранями:

1. На грани $A{A}_1{B}_{1}B$ проведите линию пересечения секущей плоскости с этой гранью. Она проходит через $K$.
2. Найдите её точки пересечения с рёбрами грани. Полученные точки соедините с $C$ и $D$ на соседних гранях.
3. Продолжайте построение на смежных гранях, пока линия сечения не замкнётся.

При выполнении построения используйте только реальные пересечения с рёбрами и их продолжениями. Сам рисунок не обязательно выполнен в масштабе, поэтому по нему нельзя надёжно определить, какие именно рёбра пересекает плоскость.

Ответ

1. Искомая прямая: $PQ$, где $P=MK\cap BD$, $Q=A_{1}K\cap AD$.
2. Сечение тетраэдра: четырёхугольник $TFEY$, где $X=TF\cap SB$, $Y=EX\cap SC$.
3. Сечение строится последовательным нахождением пересечений секущей плоскости с гранями призмы; на основании его сторона совпадает с $CD$.

Тема: Построение сечений многогранников

Условие

На изображении даны три задачи на построение: прямой пересечения плоскостей призмы; сечения тетраэдра плоскостью через точки на его рёбрах; сечения призмы плоскостью через вершины $B$, $C$ и точку $F$ на грани $A{A}_1{D}_{1}D$.

Шаг 1: Прямая пересечения плоскостей в задаче 1

Ищем две точки, которые принадлежат и плоскости $MDK$, и плоскости $A_1{B}_1{C}_1$.

Грань $A{A}_1{D}_{1}D$ содержит точки $M$ и $D$, поэтому прямая $MD$ лежит в плоскости $MDK$. Продлим её до пересечения с ребром $A_1{D}_1$. Обозначим точку пересечения через $X$.

Грань $C{C}_1{D}_{1}D$ содержит точки $K$ и $D$, поэтому прямая $DK$ лежит в плоскости $MDK$. Продлим её до пересечения с ребром $C_1{D}_1$. Обозначим эту точку через $Y$.

Точки $X$ и $Y$ принадлежат верхней плоскости $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ и плоскости $MDK$. Значит, искомая прямая пересечения плоскостей: $XY$.

Шаг 2: Сечение тетраэдра в задаче 2

Плоскость сечения проходит через $M$ на ребре $SA$, $P$ на ребре $AC$ и $K$ на ребре $SB$.

На грани $SAC$ сечение проходит по прямой $MP$. Продлим её до пересечения с ребром $SC$, получим точку $T$.

На грани $SAB$ сечение проходит по прямой $MK$. Продлим её до пересечения с ребром $AB$, получим точку $Q$.

В грани $ABC$ сечение проходит через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает ребро $BC$ в точке $R$.

Теперь соединим точки, лежащие на одной грани: $M$ с $Q$, $Q$ с $R$, $R$ с $K$, $K$ с $T$, $T$ с $P$, $P$ с $M$. Полученная ломаная $MQRKTP$ является границей сечения.

Шаг 3: Сечение призмы в задаче 3

Плоскость сечения проходит через $B$, $C$ и $F$. Поскольку $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания проходит по прямой $BC$.

Продлим прямые $AD$ и $BC$ до пересечения и обозначим их точку пересечения через $X$. Точка $X$ лежит в плоскости сечения, так как принадлежит прямой $BC$. Она также лежит в плоскости грани $A{A}_1{D}_{1}D$. Поэтому прямая $FX$ задаёт линию пересечения сечения с этой гранью. Продлив $FX$, отметьте точки, в которых она пересекает рёбра грани.

Чтобы достроить сечение, на каждой следующей грани соединяйте уже найденные точки пересечения с её рёбрами. В частности, в грани $BC{C}_1{B}_1$ сечение проходит по $BC$; далее линии сечения нужно продолжить по соседним граням до пересечения с их рёбрами. Полученные отрезки последовательно соединяются в замкнутый многоугольник. При необходимости рёбра и прямые продлевают за пределы изображённой призмы.

Ответ

1. Искомая прямая: $XY$, где $X=MD\cap A_1{D}_1$, $Y=DK\cap C_1{D}_1$.
2. Сечение тетраэдра: шестиугольник $MQRKTP$.
3. Сечение призмы строится по линии $BC$ в плоскости основания и линии $FX$ в грани $A{A}_1{D}_{1}D$, после чего последовательно достраивается на соседних гранях.